预备知识

进制转换

编码格式: BCD

BCD (Binary-Coded Decimal) 是一种用二进制编码十进制数的方法，常用于数字显示和存储。由于历史遗留问题，在 x86 指令中仍然有很多操作 BCD 数字的指令。

BCD 有两种格式: Unpacked BCD (非组合型 BCD) 和 Packed BCD (组合型 BCD), 他们的编码方式如下:

• Unpacked BCD: 每个十进制数都用一个字节来表示，每个字节低 4 位表示十进制数，高位设为 0.

• Packed BCD: 将两个十进制数合成一个字节来表示，高 4 位表示高位十进制数，低 4 位表示低位十进制数。

IEEE 754 标准

推荐阅读这个参考手册，里面介绍了 IEEE 754 编码格式，以及 Intel 处理器上浮点运算的全流程: Floating-Point Reference Sheet for Intel® Architecture. 下图截自该手册:

编码格式

• 32 位单精度浮点数: 1位符号位 + 8位偏置指数 + 23位尾数

S

Exponent

Significand

• 64 位双精度浮点数: 1位符号位 + 11位偏置指数 + 52位尾数

• 80 位扩展精度浮点数: 1位符号位 + 15位偏置指数 + 64位尾数

  • 主要用于 8087 等 x87 浮点数协处理器中

总结一下:

数据类型	符号位长度	指数位长度	指数偏置量	尾数位长度	总位数	指针类型
单精度	1	8	\(127 = 2^7-1\)	23	32	ptr dword
双精度	1	11	\(1023 = 2^{10}-1\)	52	64	ptr qword
扩展精度	1	15	\(16383 = 2^{14}-1\)	64	80	ptr tbyte

特殊表示

1. 负数:

   IEEE 754 中，负数的表示方法是将符号位设为 1，其余位按照正数的规则进行编码，并不涉及到负数的补码表示。因此，这里产生了正负 0 的区别。

2. 非规格数与无穷大:

   符号位	指数位	尾数位	类型	数值	例子 (32位)
   \(\pm\)	0	非全 0	非规格数	\((-1)^s \times 2^{-126} \times 0.\text{尾数}\)	0x0000 0001 0x8000 0001
   \(\pm\)	全 1	0	无穷大	\(\pm \infty\)	0xff80 0000 0x7f80 0000
   \(\pm\)	全 1	非全 0 Quiet = 1	qNaN	无效数值	0x7fc0 0000
   1	全 1	非 0 Quiet = 1	R Ind (qNaN)	无效数值	0xffc0 0000
   \(\pm\)	全 1	非全 0 Quiet = 0	sNaN	无效数值	0x7f80 0001

   注: 尾数最高位为 Quiet / Signal 位.

   • sNaN (Signaling NaN): 会引发异常的 NaN, 用于标记未初始化的值，或者无效的运算结果.
   • qNaN (Quiet NaN): 不会引发异常的 NaN, 用来表示未定义的运算结果.
   • R Ind (Real Indefinite): 表示非法浮点数运算的结果，比如 0.0 / 0.0 或者 \(\infty - \infty\).

浮点数运算

浮点数中，由于 IEEE 754 使用的是类似科学计数法的表示方法，再结合二进制的特点，使得浮点数乘除法运算比加减法要简单一些。

乘除法:

1. 符号计算：根据两个浮点数的符号位确定结果的符号。
2. 指数相减：将被除数的指数减去除数的指数，同时加上偏移值。
3. 尾数相除：将被除数的尾数部分除以除数的尾数，通常需要增加精度来计算商。
4. 规格化：如果商的尾数不在 [1, 2) 范围内，需要进行规格化调整并修改指数。
5. 舍入：对尾数进行舍入操作

加减法:

1. 对阶：将两个浮点数的小数位对齐，即调整较小数的指数与较大数的指数相同。这通常需要右移较小数的尾数，同时保持其数值不变。
2. 尾数运算：完成对阶后，对尾数部分进行加法或减法操作。
3. 规格化：结果可能需要重新规格化，确保尾数部分保持在 [1, 2) 的范围内。这可能需要调整指数，并对尾数进行左移或右移操作。
4. 舍入：对规格化后的结果进行舍入以符合目标精度

非规格数运算律

在浮点运算过程中，一些意外情况下会使结果变成非规格数，非规格数分为 subnormal 和 denormal 两种。

非规格数之间，以及非规格数与正常浮点数的运算规则比较复杂，也不是很好总结，这里列出四则运算的规则，更具体的可以参考 Intel 手册。

加减法 (将 X - Y 视为 X + (-Y)):

• 正常数 X 与非规格数 Y 运算，结果为 Y.
• \(\pm 0\) 与 \(\pm 0\) 相加结果为 0, 与其他数 Y 运算，结果为 Y.
• Infinity 与任何数运算均为 Infinity, 符号不变。\(\pm\)Infinity 相加为无效输入，结果为 R Ind.
• Denormal 数 X 与 Normal / Denormal 正常运算得到结果. 与 \(\pm 0\) 运算，结果为 X, 与 Infinity 运算，结果为 Infinity.

乘法:

• 符号位为 \(\text{X.s} \oplus \text{Y.s}\).
• Infinity \(\times\) 0 类型的运算结果为 R Ind.
• 其他规则与加减法相同.

除法:

• 符号位为 \(\text{X.s} \oplus \text{Y.s}\).
• Infinity / Infinity 和 0 / 0 类型的运算结果为 R Ind.
• 除了正常运算外，其他结果均为 0.

Intel 参考手册中的运算规则表

加减法: (将 X - Y 视为 X + (-Y)) 乘法: 除法:

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